martes, 7 de abril de 2015

Alicia en el País de las Maravillas I - Números que aparecen y desaparecen (pero que siempre están ahí)

Para muchos, uno de los problemas con las Matemáticas está en que, cual Gato de Cheshire, hay objetos que van apareciendo y desapareciendo según vamos haciendo operaciones: el problema, en concreto, es que ese "aparecer" y "desaparecer" es caótico y sin sentido (igual que el gato).

Fig. 1. El Gato de Cheshire sonriendo en "Alice par John Tenniel 31". 
Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons

El propósito de esta entrada es mostrar las propiedades básicas de los números reales que nos permitan entender y usar esas apariciones. Pero sobre todo, encontrarles sentido (lo cual no será extensible al gato). Para quien el procedimiento aquí explicado le sea muy básico o guste de las emociones fuertes, al final del post hay una (posible) sorpresa.


(Nota al margen: He usado MathML para escribir las fórmulas matemáticas, es posible que algunos navegadores no lean correctamente las ecuaciones)

En muchas ocasiones, ya sea repasando fundamentos de álgebra o durante su aprendizaje (en primero o incluso en segundo de secundaria), me encuentro que hay algunos "pasos" (durante el procedimiento) que dejan grandes dudas porque "no se ve" de donde salen algunos números.  Un ejemplo "donde sí se ve", es cuando se factoriza un término común en una expresión como:

3 + 3 x + 3 x 2

donde se puede ver claramente que hay un "3" que es factor común (número que multiplica a los demás) en los números que se están sumando. El problema viene cuando se pide factorizar esta expresión (extraer de la suma el factor que multiplica a todos los sumandos). Cuando alguien no ha terminado de comprender las reglas que siguen los números, no es extraño que su resultado sea:

3 ( x + x 2 )

el cual no es correcto. El resultado correcto es:

3 + 3 x + 3 x 2 = 3 ( 1 + x + x 2 )

Aquí es donde suele venir la pregunta: "Y el uno, ¿de donde ha salido?". Lo mismo pasa cuando nos encontramos un producto del tipo:
x * x 3 = x 1+3 = x 4

donde, a pesar de no estar escrito el exponente 1 en la primera parte, en la segunda ya aparece sumando al 3.

Para comprender este y otros resultados necesitamos recordar algunas propiedades básicas:
  • Multiplicar por 1 cualquier cantidad la deja igual (elemento neutro del producto):
    a = a * 1 
  • La llamada Propiedad Distributiva que, de forma resumida, dice: "Si un número multiplica a una suma, el resultado es el mismo que si multiplicamos cada sumando por el número y después hacemos la suma". Veamos un ejemplo completo, donde se muestra que ambos lados dan el mismo resultado (en otras palabras, son equivalentes):

       3 ( 4 + 5 ) = 3 × 4 + 3 × 5
  3 ( 9 ) = 12 + 15
27 = 27
 
  • Además del elemento neutro (del producto), existe también el elemento inverso (casi siempre): 

a * 1 a = 1
 
Para que exista el elemento inverso, lo único que le pediremos al número a es que sea diferente de cero.

En este punto es donde suelo hacer dos preguntas que casi todo el mundo contesta de forma afirmativa:

¿Sabemos bien la tabla del 1? 
¿Es tan simple que la podemos manejar como queramos?


Desgraciadamente, la mayoría tenemos la tendencia a quedarnos en la superficie, y esto es, solo usamos las propiedades anteriores tal y como están ahí escritas, no vamos más allá. La buena noticia es que a partir de ahora daremos un paso más allá y las usaremos para comprender cómo hacer el proceso y comprender cuando usarlas para introducir números que no estaban allí (¡a la vista, por supuesto!). Para ello, usaremos el primer ejemplo:

3 + 3 x + 3 x 2

Primer paso: Usamos la Tabla del 1 (elemento neutro del producto) y recordamos que el 3 se puede escribir también como
3 = 3 * 1
Sabiendo esto, ahora podemos escribir;

3 + 3 x + 3 x 2 = 3 * 1 + 3 x + 3 x 2
 

Segundo paso: Usamos la propiedad distributiva al revés:
 
3 * 1 + 3 x + 3 x 2 = 3 ( 1 + x + x 2 )

Y ya tenemos de donde ha salido el 1.

Ejemplo práctico 1

Vamos a sacar el factor común de la siguiente expresión:

y + y 2 + y 3 = y × 1 + y 2 + y 3

        = y 1 + y + y 2

Et voilá!, ya tenemos el factor común fuera de la suma.




Fig. 2. ¡Ahora sabemos de donde sale el 1 y no lo volveremos a dejar!
Imagen de Falsaria


 Ejemplo práctico 2

 Ahora daremos un paso más allá. Supongamos que tenemos la siguiente expresión:
3 + x + x 2
Al parecer sólo podemos hacer la factorización para una parte de la suma (la que contiene a las "x") . Sin embargo, usando las mismas herramientas del ejemplo 1 y teniendo en cuenta la propiedad del elemento neutro que vimos anteriormente, podemos hacer que aparezca un nuevo 1:

3 + x + x 2 = 3 * 1 + x + x 2


Recordando que vimos una tercera propiedad (elemento inverso), el nuevo 1 lo podemos escribir así:

1 = x × 1 x

Si sustituimos el 1 por esta expresión, obtenemos:

3 + x + x 2 = 3 ( x × 1 x ) + x + x 2
 
Por tanto, hemos encontrado una x que también multiplica a 3 (o "x es factor de 3"), razón por la cual la podemos sacar como factor común de los tres elementos:

3 + x + x 2 = x ( 3 × 1 x + 1 + x )

Quedando finalmente de la siguiente manera, una vez que hemos hecho la multiplicación del 3 en el paréntesis:

3 + x + x 2 = x ( 3 x + 1 + x )

Hemos logrado que sacar de la suma una x de donde antes no había (o no estaba a la vista): ¡El Gato de Cheshire y su sonrisa han seguido diferentes caminos y se han vuelto a unir después!.


Fig. 3. Los caminos del Gato de Cheshire y su indeoendiente sonrisa son insondables. 

Y ahora las dos buenas noticias:


  1. La idea de Existe un objeto pero no se ve y vamos a aprovechar su presencia se aplica en prácticamente todas las áreas de las Matemáticas. Como herramienta o truco es muy útil para simplicar o hacer determinadas operaciones, así que conviene conocer los elementos neutros e inversos de las operaciones para poder usarlos.
  2. Y aquí está la sorpresa que comentaba al principio del post. Las imágenes del Gato de Cheshire vienen a cuento porque recientemente se dió la noticia de un fenómeno (nunca mejor dicho) aparentemente increíble: Se ha podido separar a un objeto de una de sus propiedades físicas (tal como el Gato y su sonrisa). Para leerla en español, a través de la Agencia Sinc. El comunicado en inglés, a través de la TUWien.

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